Matematika Ekonomi

PENERAPAN DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA

DALAM EKONOMI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Tugas

Pada Mata kuliah Matematika Ekonomi

Dosen Pengampu : Ali Imron, SE., MM.

Oleh :

Ulinnuha (2013113090)

Nur Ayu Komaria (2013113107)

Arina Zulfa Sa’ida (2013113108)

Semester / Kelas : 1 / C

PROGRAM STUDI EKONOMI SYARI’AH

JURUSAN SYARI’AH

SEKOLAH TINGGI AGAMA ISLAM NEGERI (STAIN)

2013

PENERAPAN DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA

DALAM EKONOMI

A.    Elastisitas

Soal :

1.      Pada tingkat harga Rp 20.000/unit, konsumen bersedia membeli 50 unit kabel telepon, namun apabila harganya naik menjadi Rp 25.000/unit, konsumen hanya bersedia membeli 40 unit. nilai elastisitas permintaan terhadap kabel telepon tersebut dapat dihitung dengan cara :

Diketahui :

Tingkat harga Rp 20.000 / unit

Konsumen membeli 50 unit kabel telepon

Jika harga Rp 25.000 / unit

Konsumen hanya membeli 40 unit

Ditanya : Nilai elastisitas permintaanya ?

Jawab :

ED = ( DQ / DP ) x (P₁ / Q₁)

= 40 - 50 / 25.000 - 20.000 x 20.000/ 50

= - 10 / 5.000 x 20.000 / 50

= -1 x 4 /5

= -4 / 5

Sehingga diperoleh elastisitas permintaan –4⁄5, yang menunjukkan bahwa kondisi permintaan pada kasus ini bersifat inelastis.

2.      Hasil suatu penelitian terhadap perilaku perusahaan dalam menawarkan barang X yang diproduksi dirumuskan dalam suatu persamaan penawaran, sebagai berikut:

                     Q_sx = 40 + 5Px – 2Py – 10N

                     Q_sx adalah jumlah barang yang ditawarka; Px adalah harga barang X; Py harga Input; dan N adalah banyaknya macam barang pesaing.

Tentukan besarnya koefisien elastisitas harga penawaran barang X pada tingkat Px = 4 ; Py = 2 ; dan N = 3. berikan penjelasan dari setiap nilai koefisien elastisitas tersebut.

Jawaban :

Koefisien elastisitas harga penawaran barang X dapat diperoleh dengan menggunakan formulasi sebagai berikut:

Qsx = 40 + 5(4) – 2(2) – 10(3)

       = 26

       

Nilai koefisien harga penawaran barang X adalah 0,77 menunjukkan bilamana penawaran barang X adalah inelastic, ditunjukkan dengan nilai koefisien harga penawaran barang X lebih kecil dari 1. Nilai koefisien 0,77 artinya jika terjadi kenaikan harga barang X 1% menyebabkan perusahaan tersebut menaikkan jumlah barang yang ditawarkan sebanyak 0,77%

B.     Biaya Marjinal dan Penerimaan Marjinal

Soal :

Sebuah perusahaan memproduksi barang X memiliki struktur biaya produksi yang ditunjukkan oleh persamaan; TC = 250 + 200Q – 10Q2 + Q3. Persamaan kurva permintaan pasar terhadap produk (barang X) yang dihasilkan oleh perusahaan monopoli tersebut adalah P = 500 – 10Q. Berdasarkan informasi tersebut, tentukan:

a. Harga dan jumlah barang X yang harus dipilih perusahaan monopoli agar tercapai kondisi keseimbangan perusahaan monopoli (perusahaan tersebut diperoleh laba maksimum/rugi minimum).

b. Laba maksimum/rugi minimum perusahaan monopoli tersebut.

Jawaban soal :

a.       Harga dan jumlah barang pada kondisi keseimbangan perusahaan monopoli tercapai pada saat MR = MC.

         MR         = ∂TR/∂Q

         TR          = P x Q = (500 – 10Q)Q = 500Q – 10Q²

         MR         = ∂TR/∂Q = 500 – 20Q

         TC          = 250 + 200Q – 10Q² + Q³

         MC         = ∂TC/∂Q = 200 – 20Q + 3Q²

500 – 20Q       = 200 – 20Q + 3Q²

                     3Q²         = 300

                     Q²              = 100

                     Q            = ± 10

Jumlah barang yang dapat dipilih dari penyelesaian secara sistematis adalah Q = - 10 dan Q = 10. Jumlah barang yang tidak mungkin bernilai negative, maka jumlah barang keseimbangan perusahaan monopoli adalah 10 unit.

Harga keseimbangan perusahaan monopoli dapat ditentukan dengan memasukkan jumlah barang (Q) ke dalam persamaan permintaan perusahaan monopoli, yaitu:

P    = 500 – 10Q

       = 500 – 10(10)

       = 400

b.      Menentukan keuntungan maksimum/kerugian minimum.

π        = TR – TC

TR     = P x Q

          = 400 (10)

          = 4.000

TC     = 250 + 200Q – 10 Q² + Q³

          = 250 + 200(10) – 10(10)² + (10)³

          = 2.250

π        = 4.000 – 2.250

          = 1.750

Besarnya π adalah positif. Ini berarti perusahaan monopoli memperoleh keuntungan maksimum pada produksi barang X sebanyak 10 unit dan harga barang X sebesar 400.

C.     Utilitas Marjinal

Soal :

Seorang konsumen mengkonsumsi dua macam barang, yaitu X dan Y. total kepuasan (TU) yang diperoleh dalam mengkonsumsi kedua macam barang tersebut ditunjukkan dalam persamaan;

TU = 10X +24Y – 0,5X² – 0,5Y²

TU adalah total kepuasan dalam mengkonsumsi barang X dan Y

X adalah jumlah barang X yang dikonsumsi

Y adalah jumlah barang Y yang dikonsumsi

Harga barang X diketahui Rp. 2 harga barang Y adalah Rp. 6 dan anggaran yang tersedia untuk membeli barang X dan barang Y adalah Rp. 44.

Pertanyaan:

Tentukan berapa jumlah barang X dan jumlah barang Y yang harus dikonsumsi agar konsumen tersebut memperoleh kepuasan total (total utility) maksimum. Tentukan kepuasan total yang dapat diperoleh dari mengkonsumsi barang X dan barang Y.

1.      Jika harga barang X turun dari Rp. 2 menjadi Rp.1, tentukan jumlah barang X dan jumlah barang Y harus dikonsumsi agar diperoleh kepuasan total maksimum. Tentukan kepuasan total yang dapat diperoleh dari konsumsi barang X dan barang Y.

2.      Dengan berasumsi bahwa hubungan antara harga barang X dan jumlah barang X yang diminta adalah linear, tentukan persamaan kurva permintaan konsumen terhadap barang X. gambarkan kurva permintaan terhadap barang X.

Jawab:

1.      Konsumen akan memperoleh kepuasan maksimum jika kombinasi jumlah barang X dan barang Y yang dikonsumsi memenuhi syarat keseimbangan sebagai berikut:

Syarat keseimbangan I:    

Syarat keseimbangan II:   Px(Qx) + Py(Qy) = 1

TU = 10X + 24Y – 0,5X² – 0,5Y²

                  MUx = ∆TU/∆X = 10 – X

                  MUy = ∆TU/∆Y = 24 – Y

                        

6(10 – X)   = 2(24 – Y)

60 – 6X      = 48 – 2Y

2Y              = 6X + 48 – 60

2Y              = 6X – 12

Y                = 3X – 6

                   Syarat keseimbangan II:

                   Px(X) + Py(Y) = 1

                   2X + 6Y            = 44

                   2X + 6(3X – 6)    = 44

                   2X + 18X – 36 = 44

                   20X                   = 44 + 36

                   20X                   = 80

                   X                       = 4 unit                           Y = 3(4) – 6 = 12 – 6 = 6 unit

            Konsumen akan memperoleh kepuasan maksimum jika mengkonsumsi barang X sebanyak 4 unit dan barang Y sebanyak 6 unit.

            Kepuasan total yang dapat diperoleh dari mengkonsumsi barang X sebanyak 4 unit dan mengkonsumsi barang Y sebanyak 6 unit adalah

TU            = 10X + 24Y – 0,5X² – 0,5Y²

     = 10(4) + 24(6) – 0,5(4)² – 0,5(6)²

     = 40 + 144 – 8 – 18

     = 158 satuan kepuasan

2.      Harga barang X turun dari Rp. 2 menjadi Rp. 1. Konsumen akan memperoleh kepuasan maksimum jika kombinasi jumlah barang X dan barang Y yang dikonsumsi memenuhi syarat keseimbangan sebagai berikut:

Syarat keseimbangan I:    

Syarat keseimbangan II:   Px(Qx) + Py(Qy) = 1

TU     = 10X + 24Y – 0,5X² – 0,5Y²

MUx = ∆TU/∆X = 10 – X

MUy = ∆TU/∆Y = 24 – Y

                  

6(10 – X) = 1(24 – Y)

60 – 6X     = 24 – Y

Y               = 6X + 24 – 60

Y               = 6X – 16

Syarat keseimbangan II:

Px(X) + Py(Y)   = 1

X + 6Y               = 44

X + 6(6X – 36) = 44

X + 36X – 216   = 44

37X                    = 44 + 216

37X                    = 260

X                        = 7,027   dibulatkan  7 unit

Y   = 6X -36

      = 6(7) – 36

      = 42 – 36  = 6 unit

Konsumen akan memperoleh kepuasan maksimum jika mengkonsumsi barang X sebanyak 7 unit dan mengkonsumsi barang X sebanyak 4 unit dan mengkonsumsi barang Y  sebanyak 6 unit.

Kepuasan total yang dapat diperoleh dari mengkonsumsi barang X sebanyak 4 unit dan mengkonsumsi barang Y sebanyak 6 unit adalah:

TU = 10X + 24Y – 0,5X² – 0,5Y²

      = 10(7) + 24(6) – 0,5(7)² – 0,5(6)²

      = 70 + 144 – 24,5 – 18

      = 171,5 satuan kepuasan

3.      Persamaan kurva permintaan terhadap barang X adalah formulasi menentukan persamaan kurva linear antara harga barang X(Px) dan jumlah barang X yang diminta (Qx) adalah:

Px₁ =  2                 Qx₁ = 4

Px₂ = 1                   Qx₂ = 7

3(Px – 2) = -1(Qx – 4)

3Px – 6 = -Qx – 4                         Qx = 10 – 3Px

Persamaan kurva permintaan terhadap barang X adalah: Qx = 10 – 3Px

Gambar kurva permintaan terhadap barang X:

Pada tingkat harga Rp. 2 jumlah barang X yang diminta adalah sebanyak 4 unit.

Sedangkan pada tingkat harga Rp. 1 jumlah barang X yang diminta adalah sebanyak 7 unit. Jika kurva permintaan terhadap barang X diasumsikan linear, maka jumlah permintaan konsumen terhadap barang X adalah:

Dx = 10 – 3Px

7

4

Rp 1

Rp 2

0

Px

Qx

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               

D.    Produk Marjinal

Soal :

Suatu proses produksi yang menggunakan input L dan input K untuk menghasilkan produk tertentu. Dalam proses produksi tersebut, input L sebagai input variabel dan input K sebagai input tetap pada tingkat 20 unit. Persamaan produksi total yang dihasilkan dari proses produksi tersebut ditunjukkan oleh persamaan: Q = 6L + 20. Berdasarkan informasi tersebut, jika produsen menambah tenaga kerja satu orang,

yakni dari 9 orang menjadi 10 orang, tentukan produksi marjinal L (MPL) pada tingkat penggunaan input tenaga kerja (L) sebanyak 10 orang.

Jawaban :

MPL   = ΔQ/ΔL = Q2 – Q1/L2 – L1

Q         = 6L + 20

L1       = 9

Q1       = 6(9) + 20 = 54 + 20 = 74 unit

L2       = 10

Q2       = 6(10) + 20 = 60 + 20 = 80 unit

Produksi total (Q) pada penggunaan input L sebanyak 9 adalah 74 dan penggunaan L sebanyak 10 unit adalah 80 unit. Produksi marjinal penggunaan input L sebanyak 10 dapat ditentukan dengan memasukkan besarnya Q dan L ke dalam persamaan, sehingga diperoleh produksi marjinal tenaga kerja (MPL) adalah MPL = 80 – 74/10 – 9 = 6. Produksi marjinal pada penggunaan input L sebanyak 10 unit adalah 6 unit.

E.     Analisis Keuangan Maksimum

Soal :

Penerimaan marjinal (MR) dan biaya marjinal (MC) dari suatu perusahaan masing-masing ditunjukan dalam persamaan sebagai berikut: MR = -200Q+1200 dan MC = 12Q2 – 800Q + 6000, dan biaya tetapnya diketahui sebesar RP.12.000,00 (semua angka dalam ribuan). Berdasarkan persamaan di atas, maka tentukan:
a. Fungsi keuntungan yang dimiliki perusahaan
b. besarnya kuantitas (Q) yang harus diproduksi agar laba/keuntungan maksimum
c. besarnya keuntun gan maksimum
jawab:

Diketahui:

MR = -200Q + 1200

MC = 12Q2 – 800q + 6000

FC= 12.000 (semua angka dalam ribuan)

a)      fungsi keuntungan

π = TR-TC
π = -Q3 – 22020Q2 + 3.542.400Q – 300.000 (fungsi keuntungan)
keuntungan maksimum : π1 = 0
(-3Q2 – 44040Q + 3.542.40 = 0) / 3
-Q2 – 14680Q + 1.180.800 = 0
Diperoleh nilai Q = -14760 (TM) dan Q = 80
Q=80 uji turunan kedua π11 = -63.240 < 0 (maksimum keuntungan) jadi Q yang memberikan keuntungan maksimum Q = 80 unit.

b)      Besarnya keuntungan maksimum:

Π   = -Q3 -22020Q2 + 3.542.400Q – 300.000
= -(80)3 -22020(80)2 + 3.542.400(80) – 300.000
= -512.000 – 140.928.000 + 283.392.000 – 300.000
= 141.652.000 (keuntungan maksimum)

c)      Besar biaya total (TC) = Q3 – 420Q2 + 54.000Q + 300.000

      = (80)3 – 420(80)2 + 300.000

      = 2.444.000

                   Penerimaan total (TR)= -44.880Q2 + 3.596.400Q

= -44.880(80)2 + 3.596.400(80)

= 144.096.000